如果一个数字可以仅使用其自己的数字和某些数学运算来表示，则该数字被视为“自拍数字”。
例如，936是一个自拍号码。
$$mathrm{936:=:(sqrt{9})!^{3}:+:6!:=:216:+:720:=:第936章
这里可以看到，对原数的数字进行了一系列运算，结果与原数相等。
回文自拍号码是一种特殊的自拍号码。他们满足自拍乘法规则。
考虑一个数字 x。
设 x 的数字反转后的数为 $mathrm{x^prime}$。
令 y 为由 x 的数字以不同顺序组成的数字。
设 y 的数字反转后的数为 $mathrm{y^prime}$。
回文自拍数满足以下方程 –
$$mathrm{x:×:x^prime:=:y:×:y^prime}$$
问题陈述
对于给定的数字x，根据自拍乘法规则求其回文自拍数。
示例
Input: 1224Output: 2142
说明 –
给定 x = 1224
所以 $mathrm{x^prime}$ = 4221 是将 x 的数字反转得到
令 y = 2142。y 是使用 x 的数字以不同顺序形成的
所以 $mathrm{y^prime}$ = 2412 是将 y 的数字反转得到的
$mathrm{x:×:x^prime}$ = 1224 × 4221 = 5166504 和 $mathrm{y:×:y^prime}$ = 2142 × 2412 = 5166504 p>
Sincex× x’ = y × y’，y为x的回文自拍数。
Input 4669:Output: 6496
说明 –
给定 x = 4669
所以 $mathrm{x^prime}$ = 9664 是将 x 的数字反转得到
令 y = 6496。y 是使用 x 的数字以不同顺序形成的
所以 $mathrm{y^prime}$ = 6946 是将 y 的数字反转得到的
$mathrm{x:×:x^prime}$ = 4669 × 9664 = 45121216 和 $mathrm{y:×:y^prime}$ = 6496× 6946= 45121216 p>
由于 x× x’ = y × y’，y 是 x 的回文自拍数。
Input: 456Output: No palindromic selfie number exists
说明 –
给定 x = 456
所以 $mathrm{x^prime}$ = 654 是通过将 x 的数字反转得到的
令 y = 546。y 是使用 x 的数字以不同顺序形成的
所以 $mathrm{y^prime}$ = 645 是通过将 y 的数字反转得到的
$mathrm{x:×:x^prime}$ = 456 × 654 = 298224 和 $mathrm{y:×:y^prime}$ = 546× 645= 352170 p>
由于 $mathrm{x:×:x^prime}$ ≠ $mathrm{y:×:y^prime}$，因此 y 不是 x 的回文自拍照数。 p>
没有其他 456 的排列也满足自拍乘法规则。
解决方案
查找给定数字的回文自拍照数字的解决方法相当直观且易于理解。
该方法包括以下步骤 –
定义一个“反向”函数
接受一个整数作为输入
将其转换为字符串
反转字符串
将其转换回整数。
定义一个函数“Swap”
采用整数 i 和 j 作为输入
将整数转换为字符串
交换字符串中的第 i 个和第 j 个字符
将字符串转换回整数。
定义一个函数“置换”
采用整数、l、r 和一组“排列”作为输入。
它递归地生成整数数字的所有可能排列
它将它们存储在“排列”集中。
定义一个函数“palindromic_selfie”
采用整数“num”和一组“permutations”作为输入。
它使用“permute”函数生成整数“num”的所有可能的排列
然后，它通过将数字及其逆序的乘积与排列及其逆序的乘积进行比较，检查这些排列中的任何一个是否满足回文自拍属性。
如果找到这样的排列，则返回该数字。否则，返回-1。
在主函数中，设置一个数字“n”和一个用于存储排列的空集。
使用“n”和空集调用“palindromic_selfie”函数，并存储返回结果。
如果返回结果为-1，则打印“不存在回文自拍数”。否则，打印返回结果。
示例：C++ 程序
以下 C++ 程序查找给定整数的回文自拍编号（如果存在）并返回它。它通过使用 permute() 函数找到给定数字的所有可能的排列，然后使用 reverse() 函数确定给定数字和该数字的任何排列是否满足 palindrome_selfie() 函数中的自拍乘法规则来实现此目的。如果不存在这样的数字，则会打印“No Palindrome Selfie Number Exists”。
#include using namespace std;// Function to reverse the digits of a numberint reverse(int num){ // converting number to string string str = to_string(num); reverse(str.begin(), str.end()); // converting string to integer num = stoi(str); return num;}// Function that Swaps the digits i and j in the numint Swap(int num, int i, int j){ char temp; // converting number to string string s = to_string(num); // Swap the ith and jth character temp = s[i]; s[i] = s[j]; s[j] = temp; // Convert the string back to int and return return stoi(s);}// Function to get all possible permutations of the digits in numvoid permute(int num, int l, int r, set &permutations){ // Adds the new permutation obtained in the set if (l == r) permutations.insert(num); else{ for (int i = l; i <= r; i++){ // Swap digits to get a different ordering int num_copy = Swap(num, l, i); // Recurse to next pair of digits permute(num_copy, l + 1, r, permutations); } }}// Function to check for palindrome selfie numberint palindromic_selfie(int num, set& permutations) { // Length of the number required for calculating all permutations of the digits int l = to_string(num).length() - 1; permute(num, 0, l, permutations); // Calculate all permutations //Remove the number and its reverse from the obtained set as this is the LHS of multiplicative equation auto n1 = permutations.find(reverse(num)); auto n2 = permutations.find(num); if (n1 != permutations.end()) permutations.erase(n1); if (n2 != permutations.end()) permutations.erase(n2); // Go through all other permutations of the number for (set::iterator it = permutations.begin(); it != permutations.end(); it++) { int num2 = *it; // Check if selfie multiplicative rule holds i.e. x * reverse(x) = y * reverse(y) if (num * reverse(num) == num2 * reverse(num2)) { return num2; } } // If no such number found return -1;}int main(){ int n = 1234; cout << "n: " << n << endl; set permutations; int ans = palindromic_selfie(n, permutations); if (ans == -1) { cout << "No Palindromic Selfie Number Exists" << endl; } else{ cout << ans << endl; } return 0;}
输出
n: 1234No Palindromic Selfie Number Exists
时间和空间复杂度分析
时间复杂度：O(n!)
此代码的时间复杂度为 O(n!)，其中 n 是输入数字的位数。这是因为有 n! n 位数字的排列，并且 permute() 方法生成数字的所有潜在排列。
空间复杂度：O(n!)
由于集合“排列”包含所有可能的数字组合，等于 n!，因此该代码的空间复杂度为 O(n!)。 verse() 和 Swap() 函数的空间复杂度为 O(n)，因为它们还生成长度为 n 的临时字符串。空间复杂度为 O(n!) 的排列集合主导了整个代码的空间复杂度。
结论
回文自拍数是数学中一个有趣的概念。它们满足自拍乘法方程。本文讨论了一种方法来查找一个数字是否具有回文自拍号码，如果是，则返回它。对问题的概念、解决方法、C++程序以及程序的时间和空间复杂度进行了深入分析。
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