动态规划解决0-1背包问题通过状态转移方程dpi=max(dpi-1, dpi-1]+value[i])避免重复计算，使用二维数组实现后可优化为一维数组，从后往前更新避免覆盖，空间复杂度由O(nW)降为O(W)，关键在于状态定义和逆序遍历。
动态规划解决背包问题在C++中非常常见，尤其适用于0-1背包、完全背包等场景。核心思想是通过状态转移方程避免重复计算，提升效率。下面以经典的0-1背包问题为例，介绍实现方法。
问题描述
有n个物品，每个物品有重量weight[i]和价值value[i]，给定一个承重为W的背包，求能装入的最大总价值，每件物品最多选一次。
定义状态与转移方程
使用二维数组dp[i][w]表示前i个物品在承重不超过w时的最大价值：若不选第i个物品：dp[i][w] = dp[i-1][w]若选择第i个物品（前提是w ≥ weight[i]）：dp[i][w] = dp[i-1][w-weight[i]] + value[i]状态转移方程为：
dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])
C++实现代码（二维数组版本）
这是最直观的实现方式：
#include #include using namespace std;int knapsack(int n, int W, vector& weight, vector& value) {vector<vector> dp(n + 1, vector(W + 1, 0));
for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int w = 0; w = weight[i-1]) { dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i-1][w - weight[i-1]] + value[i-1]); } }}return dp[n][W];
}
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int main() {int n = 4, W = 8;vector weight = {2, 3, 4, 5};vector value = {3, 4, 5, 6};
cout << "最大价值: " << knapsack(n, W, weight, value) << endl;return 0;
}
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空间优化：一维数组实现
观察发现，dp[i][w]只依赖于dp[i-1][...]，因此可用一维数组滚动更新，从后往前遍历避免覆盖：
int knapsack_optimized(int n, int W, vector& weight, vector& value) { vector dp(W + 1, 0);for (int i = 0; i = weight[i]; w--) { dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight[i]] + value[i]); }}return dp[W];
}
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这种方法将空间复杂度从O(nW)降到O(W)，是实际应用中的常用写法。
基本上就这些。掌握状态定义和逆序更新是一维优化的关键。
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