FFT通过分治法将DFT复杂度从O(N²)降至O(N log N)，核心是奇偶分解与蝴蝶操作；C++实现需用复数类、位翻转重排数据，并迭代合并子结果，正逆变换仅差符号及归一化，完整流程包括预处理、合并与还原验证。
傅里叶变换（Fourier Transform）能将信号从时域转换到频域，而快速傅里叶变换（FFT）是其高效实现方式。在C++中手写一个简单的FFT算法，有助于理解其数学原理和递归结构。
1. FFT的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）公式为：
X[k] = Σ (n=0 到 N−1) x[n] ⋅ e^(−2πi⋅k⋅n/N)
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直接计算复杂度为 O(N²)。FFT利用分治思想，将序列分为奇偶两部分，递归计算，把复杂度降到 O(N log N)。
核心是“**蝴蝶操作**”（Butterfly Operation），结合单位根的周期性和对称性进行合并计算。
2. 复数支持与位翻转重排
C++标准库提供 std::complex，可直接用于复数运算。
FFT递归前需对输入数组做“位反转置换”（Bit-reversal Permutation），使数据按特定顺序排列，便于迭代合并。
例如长度为8时，索引二进制表示如下：
0: 000 → 000 → 01: 001 → 100 → 42: 010 → 010 → 23: 011 → 110 → 6…依此类推
通过预处理生成位反转映射表，重新排列输入数据。
3. 迭代版FFT实现代码
以下是一个简洁的C++迭代FFT实现：
#include #include #include #includeusing namespace std;using Complex = complexconst double PI = acos(-1);
// 位反转函数int reverseBits(int x, int logN) {int rev = 0;for (int i = 0; i < logN; ++i) {if (x & (1 << i))rev |= 1 << (logN - 1 - i);}return rev;}
// 快速傅里叶变换（原地FFT）void fft(vector& a, bool invert) {int n = a.size();int logN = 0;while ((1 << logN) < n) ++logN;
// 位反转重排for (int i = 0; i < n; ++i) { int ri = reverseBits(i, logN); if (i < ri) swap(a[i], a[ri]);}// 迭代合并for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) { double angle = 2 * PI / len * (invert ? 1 : -1); Complex wlen(cos(angle), sin(angle)); for (int i = 0; i < n; i += len) { Complex w(1); for (int j = 0; j < len / 2; ++j) { Complex u = a[i + j]; Complex v = a[i + j + len/2] * w; a[i + j] = u + v; a[i + j + len/2] = u - v; w *= wlen; } }}// 逆变换后归一化if (invert) { for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] /= n;}
}
4. 使用示例与验证
测试一个简单信号的FFT：
int main() { vector signal = {0,1,2,3,4,5,6,7}; // 长度必须为2的幂 fft(signal, false); // 正向FFTcout << "频域结果：n";for (int i = 0; i < signal.size(); ++i) { cout << "X[" << i << "] = " << signal[i] << 'n';}fft(signal, true); // 逆FFT验证cout << "n逆变换还原：n";for (auto& x : signal) cout << x.real() << ' ';cout << 'n';return 0;
}
输出应接近原始信号，说明变换可逆。
基本上就这些。掌握FFT关键在于理解分治结构、单位根性质和蝴蝶操作。这个版本虽简单，但已具备实际用途，比如音频分析或多项式乘法。不复杂但容易忽略细节，如位反转和符号方向。
以上就是c++++怎么实现一个简单的傅里叶变换_C++中手写FFT算法原理与实现的详细内容，更多请关注创想鸟其它相关文章！
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