极坐标下二重积分的常规解法
在极坐标下求解一个二重积分，通常涉及使用变换公式：
$$ intint_{sigma} f(x,y) dxdy = int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} f(r cos theta, r sin theta) r dr dtheta $$
其中，σ 是积分区域，[θ1, θ2] 是区域的极角范围，[r1(θ), r2(θ)] 是区域在每个极角处的半径范围。
常规解法示例
考虑二重积分：
$$ intint_{sigma} y dxdy $$
其中，σ 是第一象限中的圆形区域，半径为 1。
解：
使用极坐标变换，我们有：
$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta, quad dxdy = r dr dtheta $$
积分区域的极角范围为 [0, π/2]，半径范围为 [0, 1]。因此，积分变为：
$$ int_0^{pi/2} int_0^1 y r dr dtheta = int_0^{pi/2} left[ frac{r^2}{2} right]_0^1 dtheta = int_0^{pi/2} frac{1}{2} dtheta = frac{pi}{4} $$
对称性解法
标书对比王
标书对比王是一款标书查重工具，支持多份投标文件两两相互比对，重复内容高亮标记，可快速定位重复内容原文所在位置，并可导出比对报告。
58 查看详情
对于关于 y = 0 对称的积分区域，函数 f(x,y) 满足 f(x,y) = -f(x,-y)。在这种情况下，积分可以写为：
$$ iint_{sigma} f(x,y) dxdy = int dx int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy $$
由于 f(x,y) 对 y 是一个奇函数，因此：
$$ int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy = 0 $$
因此，关于 y = 0 对称的积分等于 0。
关于问题答案中提到的错误
答案中提到的错误是积分：
$$ int_0^{2pi} (frac{1}{2} frac{1}{3}sin theta ) dtheta $$
被不正确地写成：
$$ int_0^{2pi} frac{1}{2}dtheta int_0^{2pi}frac{1}{3}sin theta dtheta $$
正确的积分应该是：
$$ int_0^{2pi} frac{1}{2} dtheta int_0^{2pi}frac{1}{3}sin theta dtheta = pi frac{1}{3}(2) = frac{5}{3}pi $$
以上就是极坐标下二重积分：如何利用变换公式和对称性巧妙求解？的详细内容，更多请关注创想鸟其它相关文章！
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。
如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 chuangxiangniao@163.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。
发布者：程序猿，转转请注明出处：https://www.chuangxiangniao.com/p/382172.html
微信扫一扫 
支付宝扫一扫 
