极坐标下二重积分的常规解法
在计算极坐标下的二重积分时，可以使用常规方法，即将其转换为笛卡尔坐标下的积分。
考虑极坐标下的积分：
$$iint_{sigma} f(r, theta)dxdy$$
其中 σ 是积分区域，f(r, θ) 是被积函数。
常规解法步骤：
将笛卡尔坐标 (x, y) 转换为极坐标 (r, θ):
x = r*%ignore_a_1%θy = r*sinθdxdy = r dr dθ代入替换后的变量：
$$iint_{sigma} f(r, theta) dxdy = int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)} f(r, theta) r dr dtheta$$
其中 [θ1, θ2] 是积分区域在 θ 轴上的投影，[r1(θ), r2(θ)] 是积分区域在 r 轴上的投影。
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求解积分：
对 r 求积分。对 θ 求积分。
مثال:
计算极坐标下定义的二重积分：
$$iint_{sigma} (1 frac{1}{2} sin theta) dxdy$$
其中 σ 是上半平面={(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0}。
常规解法：
转换为极坐标：
x = r cos θy = r sin θdxdy = r dr dθ代入转换后的变量：
$$iint_{sigma} (1 frac{1}{2} sintheta ) dxdy = int_0^{pi/2} int_0^{infty} (1 frac{1}{2} sintheta)r dr dtheta$$
求解积分：
对 r 求积分：$$int_0^{infty} (1+frac{1}{2} sintheta)r dr = [frac{1}{2}r^2 - frac{1}{4r}costheta]_0^{infty} = infty$$已知积分对 r 不收敛，因此该二重积分发散。
以上就是极坐标下二重积分如何转换为笛卡尔坐标系进行计算？的详细内容，更多请关注创想鸟其它相关文章！
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