自然数是从 1 开始并包含所有正整数的数字。以下文章讨论了计算前 n 个自然数的五次方之和的两种可能方法。本文详细讨论了这两种方法，并在效率和直观性方面对它们进行了比较。
问题陈述
这个问题的目的是计算前n个自然数的算术和，所有数都被提升到它们的五次方，即
$mathrm{1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + … + n^5}$ 直到第n个项。
示例
由于n是自然数，因此它的值不能小于1。
Input: n = 3
Output: 276
解释
$mathrm{1^5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1}$
$mathrm{2^5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32}$
$mathrm{3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243}$
将这些项相加，我们得到 $mathrm{1^5 + 2^5 + 3^5 = 276}$
因此，前3个自然数的和为276。
Input: n = 1
Output: 1
说明
$mathrm{1^5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1}$
因此前 1 个自然数的和是 1。
Input: n = 11
Output: 381876
说明
$mathrm{1^5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1}$
$mathrm{2^5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32}$
…..
$mathrm{11^5 = 11 * 11 * 11 * 11 * 11 = 161051} $
添加这些项后，我们得到 $mathrm{1^5 + 2^5 + 3^5 + … + 11^ 5 = 381876}$
因此前 11 个自然数的和是 381876。
直观的方法
使用迭代循环逐一计算每个数字的五次方。
创建一个变量来存储每次循环迭代后的总和。
显示答案。
算法
函数main()
初始化n。
函数调用 sumOfFifthPower()。
打印总和。
函数 sumOfFifthPower(int n)
初始化 sum = 0
for (i从1到n)
sum = sum + (pow(i,5)
返回总和
示例
该程序计算每个数字的五次方，并在每次迭代中使用 for 循环将其添加到现有总和中，该循环在函数 sumOfFifthPower() 中实现了 n 次。
// A C++ program to find the sum of the first n natural numbers, all raised to their fifth power.#include #include using namespace std;// This function calculates the summation of fifth powers of the first // n natural numbers and stores// it in the variable sumint sumOfFifthPower(int n){ int sum = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { // calculate fifth power of i and add it to sum sum = sum + pow(i, 5); } return sum;}// main functionint main(){ int n = 3; int ans; // to store final result ans = sumOfFifthPower(n); // function call cout << "The sum of the fifth powers of the first " << n << " natural numbers is: "; cout << ans; // Display the final result return 0;}
输出
The sum of the fifth powers of the first 3 natural numbers is: 276
时空分析
时间复杂度：O(n)，因为在函数sumOfFifthPower()内部只使用了一个for循环。
空间复杂度：O(1)，因为没有使用额外的空间。
替代方法
使用数学公式计算每个数字的五次方之和。
显示答案。
公式
$$mathrm{displaystylesumlimits_{k=1}^n :k^5=frac{1}{12}(2n^6+6n^5+5n^4−n^ 2)}$$
算法
函数main()
初始化n。
函数调用 sumOfFifthPower()。
打印总和。
函数 sumOfFifthPower(int n)
初始化 sum = 0
总和 = ((2 * pow(n,6)) + (6 * pow(n,5) + (5 * pow(n,4) – (pow(n,2)) / 12
返回总和
示例
该程序通过将n的值代入一个数学公式来计算总和，该公式计算了函数sumOfFifithPower()中前n个自然数的五次幂的总和。
// A C++ program to find the sum of the first n natural numbers, all raised to their fifth power.#include #include using namespace std;// This function calculates the summation of fifth powers of the first // n natural numbers and stores it in the variable sumint sumOfFifthPower(int x){ int sum = 0; sum = ((2 * pow(x,6)) + (6 * pow(x,5)) + (5 *pow(x,4)) - (pow(x,2))) / 12; return sum;}// main functionint main(){ int n = 3; int ans; // to store final result ans = sumOfFifthPower(n); // function call cout << "The sum of the fifth powers of the first " << n << " natural numbers is: "; cout << ans; // Display the final result return 0;}
输出
The sum of the fifth powers of the first 3 natural numbers is: 276
时空分析
时间复杂度：O(1)，因为答案是使用直接公式在单次迭代中计算出来的。
空间复杂度：O(1)，因为不需要额外的空间。
比较上述方法
时间复杂度O(n)O(1)空间复杂度O(1)O(1)直观性更多Less 的中文翻译为：Less效率Less 的中文翻译为：Less更多
结论
本文讨论了两种方法来计算前n个自然数的五次幂之和。它还介绍了这两种方法的概念、算法、C++程序解决方案以及每种方法的复杂度分析。可以观察到，第一种方法的时间复杂度更高，但更直观。另一方面，第二种方法使用直接的数学公式以O(1)的时间和空间高效地解决了问题。
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