0-1背包问题通过动态规划求解，状态定义为dpi表示前i个物品在容量w下的最大价值，转移方程为dpi = max(dpi-1, dpi-1] + value[i-1])；C++实现采用二维数组填充DP表，可优化为一维数组从后往前更新，空间复杂度由O(nW)降为O(W)，适用于处理重叠子问题与最优子结构的最优化场景。
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决最优化问题的重要方法，尤其在处理具有重叠子问题和最优子结构的问题时非常高效。C++作为高性能编程语言，非常适合实现动态规划算法。下面以经典的0-1背包问题为例，讲解如何用C++实现动态规划，并推导状态转移方程。
什么是0-1背包问题？
给定n个物品，每个物品有重量weight[i]和价值value[i]，以及一个容量为W的背包。每件物品只能选择放入或不放入（即不能分割），目标是在不超过背包容量的前提下，使总价值最大。
DP状态定义与状态转移方程
关键在于设计合适的状态表示和递推关系。
状态定义：
立即学习“C++免费学习笔记（深入）”；
设dp[i][w]表示前i个物品，在背包容量为w时能获得的最大价值。
状态转移逻辑：
对于第i个物品（索引从1开始），有两种选择： 不放入：则最大价值等于dp[i-1][w]放入（前提是w >= weight[i-1]）：则价值为dp[i-1][w – weight[i-1]] + value[i-1]取两者最大值即可。
状态转移方程：
dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w – weight[i-1]] + value[i-1])
C++代码实现
以下是完整的C++实现，使用二维数组存储DP表：
#include #include #include using namespace std;int knapsack(int W, vector& weight, vector& value) {int n = weight.size();// 创建DP表，初始化为0vector<vector> dp(n + 1, vector(W + 1, 0));
// 填充DP表for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int w = 0; w = weight[i-1]) { dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i-1][w - weight[i-1]] + value[i-1]); } }}return dp[n][W]; // 返回最大价值
}
int main() {vector weight = {2, 3, 4, 5};vector value = {3, 4, 5, 6};int W = 8;
cout << "Maximum value: " << knapsack(W, weight, value) << endl;return 0;
}
空间优化：使用一维数组
观察发现，每次更新只依赖上一行的数据。因此可以用一维数组优化空间复杂度到O(W)。
关键点：内层循环要从后往前遍历，避免覆盖还未使用的状态。
int knapsack_optimized(int W, vector& weight, vector& value) { int n = weight.size(); vector dp(W + 1, 0);for (int i = 0; i = weight[i]; w--) { dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight[i]] + value[i]); }}return dp[W];
}
这种方法将空间从O(nW)降为O(W)，是实际应用中更常见的写法。
基本上就这些。掌握状态定义、转移方程推导和代码实现三步，就能应对大多数背包类DP问题。
以上就是C++怎么实现一个动态规划算法_C++背包问题与DP状态转移方程的详细内容，更多请关注创想鸟其它相关文章！
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。
如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 chuangxiangniao@163.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。
发布者：程序猿，转转请注明出处：https://www.chuangxiangniao.com/p/1487279.html
微信扫一扫 
支付宝扫一扫 
